diantara 100 mahasiswa 32 orang mempelajari matematika
Diantara 100 mahasiswa, 32 mempelajari matematika, 20 mempelajari fisika, 45 mempelajari biologi, 15 mempelajari matematika dan biologi, 60 memakai topi di dalam kelas, 51 memakai syal di leher, dan 30 memakai topi dan syal. Diantara 54 mahasiswa yang memakai sweater, 26 memakai topi, 21 memakai syal, dan 12 memakai topi dan syal. Mereka
11 Di antara 100 mahasiswa, 32 orang mempelajari matematika , 20 orang mempelajari fisika, 45 orang mempelajari biologi, 15 mempelajari matematika dan biologi, 7 mempelajari matematika dan fisika, 10 mempelajari fisika dan biologi, dan 30 tidak mempelajari satupun di antara ketiga bidang tersebut. Hitunglah banyaknya mahasiswa yang mempelajari
Diantara100 mahasiswa, 32 orang mempelajari Matematika, 20 orang mempelajari Fisika, 45 orang mempelajari Biologi, 15 orang mempelajari Matematika dan Biologi, 7 orang mempelajari Matematika dan Fisika, 30 orang tidak mempelajari satupun diantara ketiga bidang tersebut. Hitung banyaknya mahasiswa yang mempelejari ke 3 bidang tersebut.
MatematikaSekolah Menengah Pertama terjawab Di antara 100 mahasiswa, 32 orang mempelajari matematika, 20 orang mempelajari fisika, 45 orang mempelajari biologi, 15 mempelajari matematika dan biologi, 7 mempelajari matematika dan fisika, 10 mempelajari fisika dan biologi, dan 30 tidak mempelajari satupun diantara bidang tersebut.
Diantara 100 siswa, 32 orang suka PKn, 20 orang suka IPS, 45 orang suka IPA, 15 orang suka PKn dan IPA, 7 orang suka PKn dan IPS, 10 orang suka IPS dan IPA, 30 orang tidak suka satu pun di antara ketiga mata pelajaran tersebut.
mở bài trong bài văn kể chuyện lớp 4. 0% found this document useful 0 votes399 views6 pagesOriginal TitleTUGAS MATEMATIKA DISKRIT 2 marCopyright© © All Rights ReservedShare this documentDid you find this document useful?0% found this document useful 0 votes399 views6 pagesTUGAS MATEMATIKA DISKRIT 2 MarOriginal TitleTUGAS MATEMATIKA DISKRIT 2 marJump to Page You are on page 1of 6 You're Reading a Free Preview Pages 4 to 5 are not shown in this preview. Reward Your CuriosityEverything you want to Anywhere. Any Commitment. Cancel anytime.
Diantara 100 mahasiswa, 30 mempelajari matematika 20 orang mempelajari fisika 45 orang mempelajari biologi 15 orang mempelajari matematika & biologi 7 orang mempelajari MTK & fisika 10 orang mempelajari fisika& biologi dan 30 orang tidak mempelajari satupun diantara ke3 bidang tersebutA hitung bnyk mhsiswa yg mmpljari ke3 bidang trsbt? B. Hitung bnyknya mahasiswa yg mmpljari hanya satu diantara ke3 bidang tersebut?
Jawaban yang benar adalah 5 Himpunan Himpunan merupakan sekumpulan benda-benda atau objek-objek yang sudah didefinisikan dengan jelas. Beberapa sifat dalam himpunan adalah - Gabungan dua himpunan merupakan himpunan yang anggotanya terdiri dari semua anggota himpunan A dan himpunan B, dimana anggota yang memiliki anggota sama hanya ditulis satu kali. Gabungan dua himpunan dilambangkan A ∪ B dan secara matematis dapat ditulis sebagai berikut A ∪ B = {x x ∈ A atau x ∈ B} - Irisan dua himpunan merupakan himpunan yang anggotanya terdiri dari anggota himpunan A dan B yang sama atau himpunan yang anggotanya ada di himpunan A dan B. Irisan dua himpunan dilambangkan A ∩ B dan secara matematis dapat ditulis sebagai berikut A ∩ B = {x x ∈ A dan x ∈ B} - Komplemen suatu himpunan yaitu suatu himpunan yang semuanya anggota himpunan semesta S tetapi bukan anggota himpunan A dan dilambangkan dengan A^cPembahasan nS = banyak mahasiswa = 100nA = banyak mahasiswa yang mempelajari Matematika = 32nB = banyak mahasiswa yang mempelajari Fisika = 20nC = banyak mahasiswa yang mempelajari Biologi = 45nA ∩ B = banyak mahasiswa yang mempelajari Matematika dan Fisika = 7nA ∩ C = banyak mahasiswa yang mempelajari Matematika dan Biologi = 15nB ∩ C = banyak mahasiswa yang mempelajari Fisika dan Biologi = 10nA ∪ B ∪Cc = banyak mahasiswa yang tidak mempejari satu pun diantara ketiga bidang tersebut = 30nA ∩ B ∩ C = banyak mahasiswa yang mempelajari ketiga bidang tersebut = amaka banyak mahasiswa yang mengambil ketiganya adalahnS = nA + nB + nC - nA∩B - nB∩C - nA∩C + nA∩B∩C + nA ∪ B ∪Cc100 = 32 + 20 + 45 - 7 - 10 - 15 + a + 30100 = 95 + aa = 100 - 95a = 5Jadi, banyaknya mahasiswa yang mempelajari ketiga bidang tersebut adalah 5 membantu ya.
MATEMATIKA DISKRIT Logika Proposisi Edisi 2 MATEMATIKA DISKRIT Samuel Wibisono Logika Proposisi MATEMATIKA DISKRIT Oleh Samuel Wibisono Editor Asrining Rizky Rachmawati Edisi Kedua Cetakan Pertama, 2008 Hak Cipta © 2005, 2008 pada penulis, Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau memindahkan sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apa pun, secara elektronis maupun mekanis, termasuk memfotokopi, merekam, atau dengan teknik perekaman lainnya, tanpa izin tertulis dari penerbit. Candi Gebang Permai Blok R/6 Yogyakarta 55511 Telp. 0274-882262; 0274-4462135 Fax. 0274-4462136 E-mail info Wibisono, Samuel MATEMATIKA DISKRIT/Samuel Wibisono - Edisi Kedua Yogyakarta; Graha Ilmu, 2008 xii + 196 hlm, 1 Jil. 23 cm. ISBN 978-979-756-413-1 1. Matematika I. Judul KATA PENGANTAR Memasuki era globalisasi, mempersiapkan sumber daya manusia yang profesional dalam bidangnya merupakan prasyarat utama untuk dapat survive dalam pasar global yang penuh tantangan dan persaingan. Dengan latar belakang tersebut di atas dan banyaknya keluhan pembaca tentang Apa manfaat belajar matematika buat mereka? atau Apa hubungan matematika yang mereka pelajari dengan jurusan yang mereka ambil?, penulis menyadari bahwa sasaran dalam proses pembelajaran mata kuliah ini harus dipertajam, sehingga mampu mendukung terciptanya sarjanasarjana baru dalam bidang teknik informatika, sistem informatika, manajemen informatika, maupun teknik komputer, yang handal dan mempunyai daya saing yang tinggi karena telah dibekali dengan logika dan konsep dasar matematika diskrit, sehingga mampu menyelesaikan segala persoalan yang dihadapi, melalui rancangan usulan penyelesaian problem atau kasus. Hasil proses pembelajaran yang penulis harapkan setelah pembaca membaca buku ini, adalah Logika Proposisi ° Pembaca mengenal konsep dasar logika dan matematika diskrit dengan baik. ° Pembaca memahami konsep dasar logika dan matematika diskrit sehingga mampu menggunakannya untuk menyelesaikan permasalahan yang sesuai. ° Pembaca dapat merancang, menganalisa dan mensintesa beberapa kasus aplikasi dalam berbagai bidang, khususnya TI dan komputer. Pada kesempatan ini penulis menyampaikan terimakasih kepada Pimpinan dan Staf Universitas Bina Nusantara dan Universitas Indonesia Esa Unggul, di mana penulis diberi kesempatan mengampu mata kuliah Matematika Diskrit ini, rasa terima kasih juga penulis sampaikan kepada Penerbit Graha Ilmu yang telah memberikan kepercayaan, sehingga buku edisi 2 ini dapat diterbitkan. Terakhir, kami sampaikan rasa terima kasih kepada rekan-rekan dosen pengampu mata kuliah Matematika Diskrit utamanya Dr. Frans Susilo SJ. yang berkenan memberikan kritik dan saran yang membangun guna penyempurnaan buku ini, kritik dan saran yang membangun dari rekan-rekan masih kami tunggu untuk edisi mendatang. Demikian semoga bermanfaat. Jakarta, Agustus 2008 Samuel Wibisono DAFTAR ISI KATA PENGANTAR DAFTAR ISI BAB 1 LOGIKA PROPOSISI Pernyataan Pernyataan Gabungan Konjungsi Disjungsi Negasi Jointdenial Not OR/ NOR Not And NAND Exclusive or exor Exclusive NOR ExNOR Tautologi dan kontradiksi Tautologi Kontradiksi Kesetaraan Logis Aljabar Proposisi Implikasi dan Biimplikasi Implikasi v vii 1 1 2 2 4 6 7 7 8 9 10 10 10 11 12 14 14 Biimplikasi Argumentasi Kebenaran/Validitas Argumen Bentuk-bentuk Dasar Menarik Kuantor Pernyataan Macam-macam Kuantor Negasi Kauntor BAB 2 18 18 19 21 25 26 27 TEORI HIMPUNAN Himpunan Kardinalitas Himpunan Berhingga dan Tak Berhingga Kesamaan Dua Himpunan dan Subhimpunan Macam-macam Himpunan Operasi Himpunan Union/Gabungan dari 2 himpunan Intersection/Irisan dari 2 Himpunan Relative Acomplement/Selisih Antara 2 Himpunan Komplemen dari Himpunan Symmetic Difference/Beda Setangkup Diagram Venn Hukum-hukum Aljabar Himpunan Perhitungan Himpunan Gabungan Gabungan dari 2 Himpunan Gabungan dari 3 Himpunan BAB 3 TEORI HIMPUNAN FUZZY Fungsi keanggotaan Operasi himpunan fuzzy Komplemen Gabungan/Union Himpunan Fuzzy 31 31 32 33 34 36 36 36 37 37 37 38 38 39 41 41 42 49 49 51 51 52 Irisan/Itersection Himpunan Fuzzy Pemotongan/Cut Himpunan Fuzzy Pendukung Support Himpunan Fuzzy Scalar Cardinality Kesamaan dan Himpunan Bagian 53 54 57 59 60 BAB 4 LOGIKA FUZZY Pengantar Logika dengan Nilai Kebenaran Beragam Soal-soal 67 67 68 72 BAB 5 RELASI KLASIK Pendahuluan Pemaparan Relasi Pemaparan Koordinat Pemaparan Matrik Pemetaan Graph Berarah Operasi dalam Relasi binary Inverse Relasi R1 Komposisi Relasi Ekivalen, Kompatibel dan Ordering Relasi Relasi Ekivalen Relasi Kompatibel Poset Partially Orderet Set 75 75 77 77 78 78 79 80 80 81 82 82 85 86 FUNGSI Definisi Fungsi Macam-macam Fungsi Fungsi satu-satu Fungsi pada Fungsi konstan Fungsi Invers Komposisi Fungsi Fungsi Karakteristik 93 93 94 94 95 96 96 98 99 BAB 6 BAB7 BAB 8 BAB 9 ALJABAR BOOLE 103 Aplikasi Aljabar Boole dalam Jaringan Switching 103 Aplikasi Aljabar Boole pada Rangkaian Logik Gate 107 Aplikasi Aljabar Boole dalam Operasi Kelipatan Persekutuan Kecil KPK dan Faktor Persekutuan Besar FPB 111 Minimal dnf Disjunctive Normal Form 113 Dengan Teori Include dan Konsensus 113 Peta Karnaugh 116 TEORI GRAPH Pendahuluan Macam-macam Graph Koneksitas Berkaitan dengan Jarak Derajat/Degree suatu titik Titik Potong Graph Cut Point Ukuran secara grafikal Matrik Graph Labeled Digraph Derajat Titik pada Diagraph Graph Bidang Planar Graph Pewarna Peta Pohon/Tree Spanning Tree Pohon Berakar Rooted Tree Pohom Berurut Berakar Orderd Rootes Tree 125 125 127 132 134 136 137 138 139 141 144 145 147 159 161 163 MESIN MATEMATIK Pendahuluan Finite Automata FA 175 175 177 167 Menggambarkan FA dengan Digraph Menggambarkan FA dengan Difinisi Formal 5-Tuple Menggambarkan FA dengan Tabel State Non-Deterministik Finite Automata NFA Finite State Transducers DAFTAR PUSTAKA TENTANG PENULIS 178 180 181 181 189 193 195 -oo0oo- 1 LOGIKA PROPOSISI P Logika proposisi sering juga disebut logika matematika ataupun logika deduktif. Logika proposisi berisi pernyataan-pernyataan dapat tunggal maupun gabungan. Pernyataan adalah kalimat deklarasi yang dinyatakan dengan huruf-huruf kecil, misalnya p, q, r, s Pernyataan mempunyai sifat dasar yaitu dapat bernilai benar pernyataan benar atau bernilai salah pernyataan salah, tetapi tidak mungkin memiliki sifat kedua-duanya. Kebenaran atau kesalahan sebuah pernyataan dinamakan nilai kebenaran dari pernyataan tersebut. Contoh 1. Bilangan biner digunakan dalam sistem digital adalah pernyataan yang benar. Logika Proposisi 2. Sistem analog lebih akurat daripada sistem digital adalah pernyataan yang salah. 3. Astaga, mahal sekali harga notebook itu adalah kalimat keheranan, bukan pernyataan. 4. Siang tadi notebook Ira jatuh dari meja adalah bukan pernyataan karena dapat bernilai benar maupun bernilai salah. 5. Corezdeo lebih bagus kinerjanya dan lebih mahal dari pentium IV generasi sebelumnya adalah pernyataan yang benar. Kalimat-kalimat yang tidak termasuk pernyataan, adalah ³ ³ ³ ³ ³ Kalimat Kalimat Kalimat Kalimat Kalimat perintah pertanyaan keheranan harapan walaupun .. P G Beberapa pernyataan dapat digabung dengan kata penghubung dan, atau, tidak/bukan, serta variatifnya, yang selanjutnya disebut pernyataan gabungan atau pernyataan majemuk atau compound statement. Macam-macam pernyataan gabungan. Konjungsi Konjungsi adalah pernyataan gabungan dari dua pernyataan dengan kata penghubung dan Notasi-notasi konjungsi R S , p x q, pq Bagaimana menentukan benar atau salah sebuah konjungsi? Konjungsi dianalogikan dengan sebuah rangkaian listrik seri A B i + Bila lampu B dan lampu A hidup maka arus listrik dapat mengalir dari kutup positip menuju kutup negatip sebuah baterai, akibatnya kedua lampu A dan B menyala/ lampu B mati dan lampu A hidup atau sebaliknya, maka arus listrik tidak dapat mengalir menuju kutub negatip baterai, akibatnya kedua lampu A dan B tidak menyala/mati. Demikian juga bila lampu A dan B mati. Dengan demikian dapat di simpulkan bahwa konjungsi benar bila keduanya hidup, selain itu salah. Tabel Kebenaran Konjungsi p q RS + + + + + p ∧ q + + + + + dimana + berarti benar dan - berarti salah Contoh p q = sistem analog adalah suatu sistem dimana tanda fisik/ kuantitas, dapat berbeda secara terus-menerus melebihi jarak tertentu adalah pernyataan benar = sistem digital adalah suatu sistem dimana tanda fisik/ kuantitas, hanya dapat mengasumsikan nilai yang berlainan adalah pernyataan yang benar. r s = sistem bilangan desimal adalah sistem bilangan yang digunakan dalam sistem digital adalah pernyataan yang salah = aljabar linear adalah alat matematika dasar untuk disain logika adalah pernyataan salah. Maka RS q×r adalah konjungsi yang benar karena p benar, q benar. adalah konjungsi yang salah karena q benar, r salah. adalah konjungsi yang salah karena r salah, s salah. Disjungsi Disjungsi adalah pernyataan gabungan dari dua pernyataan dengan kata penghubung atau. Notasi-notasi disjungsi R SR S Bagaimana menentukan benar atau salah sebuah disjungsi? Disjungsi dapat dianalogikan dengan sebuah rangkaian listrik yang pararel A B i + Bila lampu A dan lampu B hidup maka arus listrik i dapat bergerak/mengalir dari kutup positip ke kutup negatip sebuah baterai, akibatnya lampu A dan B menyala. Bila lampu A hidup dan lampu B mati atau sebaliknya, maka arus listrik i masih dapat mengalir dari kutup positip ke kutup negatip sebuah baterai. Akibatnya lampu yang hidup akan menyala dan yang mati tidak menyala. Bila lampu A dan B mati, maka arus listrik i tidak dapat mengalir ke kutup negatip. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa disjungsi salah bila kedua lampu mati, selain itu benar. Tabel Kebenaran Disjungsi p q RS p ∨ q + + + + + + + + + + + + + + Catatan Simbol tabel kebenaran yang biasa digunakan Benar Salah = T, B, +, 1 = F, S, , 0 Contoh p q r = keyboard adalah alat yang dapat digunakan untuk input data kedalam komputer adalah pernyataan benar. = Harddisk adalah alat yang menentukan kecepatan kerja komputer adalah pernyataan salah. = Procesor alat yang berfungsi sebagai otak dari sebuah komputer adalah pernyataan benar. s = Windows XP adalah sistematika menulis buku adalah pernyataan salah. Maka QR QS R∨T adalah disjungsi yang benar karena p benar, q salah. adalah disjungsi yang benar karena p benar, r benar. adalah disjungsi yang salah karena q salah, s salah. Negasi Negasi adalah sebuah pernyataan yang meniadakan pernyataan yang ada, dapat di bentuk dengan menulis adalah salah bahwa atau dengan menyisipkan kata tidak dalam sebuah pernyataan. Notasi-notasi negasi ′ Contoh p = Harddisk adalah alat yang menentukan kecepatan kerja komputer adalah pernyataan salah Maka ~ p = Adalah salah bahwa harddisk adalah alat yang menentukan kecepatan kerja komputer adalah pernyataan benar. Jadi kebenaran sebuah negasi adalah lawan dari kebenaran pernyataannya. Tabel kebenaran negasi p + ~p + Jointdenial Not OR/ NOR Jointdenial adalah pernyataan gabungan yang dihasilkan dari menegasikan disjungsi. Notasi NOR R ↓ SRPQTS` R ∨ S Karena jointdenial adalah negasi dari or, maka tabel kebenaran NOR adalah sebagai berikut p q RS RoS + + + + + + + + ~ p ∨ q + + + + + + + + Not And NAND NAND adalah pernyataan gabungan yang dihasilkan dari menegasikan konjungsi. Notasi NAND ∧ ∧ ′ Karena NAND negasi dari konjungsi, maka tabel kebenaran NAND adalah sebagai berikut p q RS + + + + + ` R ∧ S + + + ~ p q + + + + + + + + Exclusive or exor Exor adalah pernyataan gabungan dimana salah satu p atau q tidak kedua-duanya adalah benar Notasi exor RS Contoh p q r s = sistem analog adalah suatu sistem dimana tanda fisik/ kuantitas, dapat berbeda secara terus-menerus melebihi jarak tertentu. adalah pernyataan benar = sistem digital adalah suatu sistem dimana tanda fisik/ kuantitas, hanya dapat mengasumsikan nilai yang berlainan adalah pernyataan yang benar. = sistem bilangan desimal adalah sistem bilangan yang digunakan dalam system digital adalah pernyataan yang salah. = aljabar linear adalah alat matematika dasar untuk disain logika adalah pernyataan salah. Maka RS adalah exor yang salah karena p benar, q benar. Q S adalah exor yang benar karena p benar, r salah. T R S T adalah exor yang benar karena q benar, s salah. adalah exor yang salah karena r salah, s salah. dengan demikian tabel kebenaran exor dapat ditulis sebagai berikut R S R∨S R X S − − − − − − CVCW − − − − − − Exclusive NOR ExNOR EXNOR adalah pernyataan gabungan ingkaran dari EXOR di mana nilai kebenarannya benar bila kedua pernyataannya benar atau salah. Notasi EXNOR ~ p∨ q Contoh p q r s = sistem analog adalah suatu sistem dimana tanda fisik/ kuantitas, dapat berbeda secara terus-menerus melebihi jarak tertentu. adalah pernyataan benar = sistem digital adalah suatu sistem dimana tanda fisik/ kuantitas, hanya dapat mengasumsikan nilai yang berlainan adalah pernyataan yang benar. = sistem bilangan desimal adalah sistem bilangan yang digunakan dalam sistem digital adalah pernyataan yang salah = aljabar linear adalah alat matematika dasar untuk disain logika adalah pernyataan salah. Maka p EXNOR q, adalah p EXNOR r, adalah s EXNOR q, adalah r EXNOR s, adalah pernyataan pernyataan pernyataan pernyataan yang yang yang yang benar salah salah benar Dengan demikian tabel kebenaran EXNOR p q + + + + ` R∨S + + T K Proposisi dipandang dari nilai kebenarannya dapat digolongkan menjadi 2 yaitu Tautologi Tautologi adalah proposisi yang selalu benar apapun pernyataannya. Notasi tautologi p v ~p Contoh p = Harddisk adalah alat yang menentukan kecepatan kerja komputer adalah pernyataan salah ~p = adalah salah bahwa harddisk adalah alat yang menentukan kecepatan kerja komputer adalah pernyataan benar. Maka R∨ ` R adalah proposisi yang benar Tabel kebenaran tautologi p `S + + R∨ ` R + + p `R + + + + Kontradiksi Kontradiksi adalah proposisi yang selalu salah apapun pernyataannya Notasi kontradiksi R∧ ` R Contoh p = Harddisk adalah alat yang menentukan kecepatan kerja komputer adalah pernyataan salah ~p = adalah salah bahwa harddisk adalah alat yang menentukan kecepatan kerja komputer adalah pernyataan benar. Maka R∧ ` R adalah proposisi yang salah Tabel kebenaran kontradiksi p `R + + R∧ ` R K L Dua buah pernyataan yang berbeda dikatakan setara bila nilai kebenarannya sama Contoh 1. Tidak benar, bahwa aljabar linear adalah alat matematika dasar untuk disain logika adalah pernyataan benar. 2. Aljabar Boole adalah alat matematika dasar untuk disain logika adalah pernyataan benar. Kedua pernyataan di atas mempunyai nilai kebenaran yang sama. Jadi kedua pernyataan di atas setara/ekivalen. Akibatnya dua proposisi Pp, q, r, ... dan Qp, q, r, ... dapat dikatakan setara jika memiliki tabel kebenaran yang sama. Dua buah proposisi yang setara dapat dinyatakan dengan Pp, q, r, ... ≡ Qp, q, r, .... Contoh Selidiki apakah kedua proposisi di bawah setara 1. Tidak benar, bahwa sistem bilangan biner digunakan dalam sistem digital atau sistem digital hanya dapat mengasumsikan nilai yang berlainan. 2. Sistem bilangan biner tidak digunakan dalam sistem digital dan tidak benar bahwa sistem digital hanya dapat mengasumsikan nilai yang berlainan. Kedua proposisi di atas dapat dituliskan dengan notasi sbb 1. ∨ 2. ~ R∧ ` S sehingga tabel kebenarannya sebagai berikut R S `R `S R ∨ S ` R ∨ S ` R∨` S − − − − − − − − − − − − − − − Jadi, kedua proposisi tersebut setara atau ∨ ≡ ∧ A P Aljabar proposisi merupakan penerapan hukum-hukum aljabar dalam logika proposisi. Hukum-hukum tersebut adalah 1. Idempoten RR z R RR z R 2. Asosiatif R S T z R S T R S T z R S T 3. Komutatif RS z SR RS z S R 4. Distribusi R S T z R S R T R S T z R S R T 5. Identitas z z z z 6. Komplemen R∨ ` R = V ` V = H R ∧ ` R = H ` H = V 7. Involution ≡ 8. De Morgans ` R ∧ S =` R ∨ S ` R ∨ S =` R ∧ ` S 9. Absorbsi R ∨ R ∧ S ≡ R R ∧ R ∨ S ≡ R 10. Implikasi R → S =` R ∨ S 11. Biimplikasi ↔ = → ∧ → 12. Kontraposisi R → S =` S →` R Salah satu manfaat hukum-hukum aljabar proposisi adalah untuk menyederhanakan pernyataan gabungan. Contoh Sederhanakan proposisi di bawah buktikan hukum. Absorbsi R R S z R H R S z R H S z RH zR I B Implikasi Perhatikan pernyataan berikut jika memakai Microsoft Word maka Windows adalah sistem operasinya. Microsoft Word merupakan syarat cukup bagi Windows, sedangkan Windows merupakan syarat perlu bagi Microsoft Word, artinya Microsoft Word tidak dapat digunakan tanpa windows tetapi Windows dapat digunakan tanpa Microsoft Word. Contoh pernyataan di atas disebut pernyataan bersyarat atau conditional statement. Notasi implikasi R nS dibaca jika p maka q Kebenaran implikasi 1. Jika Microsoft Word maka Windows sistem operasinya adalah implikasi benar, karena keduanya buatan Microsoft. Mengacu pada implikasi di atas maka 2. Jika Microsoft Word maka bukan Windows sistem operasinya adalah pernyataan salah, karena sistem operasi Microsoft Word adalah Windows 3. Jika bukan Microsoft Word maka Windows sistem operasinya adalah pernyataan benar karena aplikasi under Windows tidak hanya Microsoft Word 4. Jika bukan Microsoft word maka bukan windows sistem operasi-nya adalah pernyataan benar, karena aplikasi selain Microsoft Word, sistem operasinya bisa jadi bukan Windows. Tabel kebenaran implikasi sebagai berikut p q + + + + R nS + + + Contoh Misalkan pernyataan p adalah benar, q adalah salah dan r adalah benar, tentukan kebenaran proposisi berikut R S n T Jawab Proposisi di atas dapat diubah menjadi V H n H VnH H Jadi proposisi di atas salah Bukti dengan tabel ∨ p + + + + + q r r + + + + + ¨ + Konvers, Invers, dan Kontraposisi Jika implikasi R Maka nS Konversnya Inversnya Kontrapositipnya S→R ` R →` S ` S →` R Contoh Jika Microsoft Word maka Windows sistem operasinya adalah implikasi yang benar, berdasarkan implikasi di atas maka Konversennya Inversenya Kontrapositipnya Jika Windows sistem operasinya maka Microsoft Word aplikatifnya. Jika bukan Microsoft Word maka bukan Windows sistem operasinya Jika bukan windows sistem operasinya maka bukan Microsoft Word aplikatifnya Tabel kebenaran p q `R `S + + + + + + + + R nS ` S →` R S + + + + + + setara nR ` R →` S + + + + + + setara Jadi dapat disimpulkan bahwa proposisi yang saling kontra-positif mempunyai nilai kebenaran yang sama ekuivalen. Berdasarkan sifat tersebut maka kita dapat membuktikan suatu dalil dalam bentuk implikasi melalui nilai kebenaran kontra-positipnya. Contoh Buktikan bahwa Jika x bilangan genap, maka x juga bilangan genap dapat ditulis x= genap → x = genap Jawab Kontrapositif dari implikasi di atas adalah Jika x bukan bilangan genap maka x juga bukan bilangan genap. dapat ditulis Jika x = ganjil maka x = ganjil Setiap bilangan bulat bukan genap adalah ganjil, sehingga x ganjil ditulis x = 2k + 1, k bilangan bulat, akibatnya Z M M M M M Karena k k 2k 2k + 2k bilangan bulat maka juga bilangan bulat juga bilangan genap juga bilangan genap sehingga x = bilangan ganjil, karena bilangan genap ditambah 1 sama dengan bilangan ganjil. Jadi kontrapositipnya benar akibatnya implikasinya juga benar. Biimplikasi Perhatikan pernyataan berikut Microsoft Word jika dan hanya jika ingin membuat dokumen dengan sistem operasi Windows Pernyataan tersebut disebut biimplikasi atau biconditional statement. k Notasi biimplikasi R S dibaca p jika dan hanya jika q Kebenaran Biimplikasi 1. Microsoft Word jika dan hanya jika ingin membuat dokumen dengan sistem operasi Windows adalah pernyataan benar Berdasarkan biimplikasi diatas, maka 2. Microsoft Word jika dan hanya jika tidak membuat dokumen dengan sistem operasi Windows adalah pernyataan salah 3. Bukan Microsoft Word jika dan hanya jika membuat dokumen dengan sistem operasi Windows adalah pernyataan salah 4. Bukan Microsoft Word jika dan hanya jika tidak membuat dokumen dengan sistem operasi Windows adalah pernyataan benar Tabel kebenaran biimplikasi p q + + + + R kS + + A Argumentasi adalah kumpulan pernyataan-pernyataan atau kumpulan premis-premis atau kumpulan dasar pendapat serta kesimpulan konklusi Notasi 2 RS 3 RS =% RS P, Q, {P, Q, } C masing-masing disebut dasar pendapat atau premis bersama-sama disebut hipotesa adalah conclusion/kesimpulan Contoh Jika rajin belajar maka lulus ujian tidak lulus ujian ∴ tidak rajin belajar Kebenaran/Validitas Argumen Validitas argument tergantung dari nilai kebenaran masing-masing premis dan kesimpulannya. Suatu argument dikatakan valid bila masing-masing premisnya benar dan kesimpulannya juga benar. Contoh 1 Jika merancang gerbang logika maka memakai sistem bilangan biner Jika memakai sistem bilangan biner maka sistem yang dibangun digital ∴ Jika merancang gerbang logika maka sistem yang dibangun digital Argumen tersebut dapat dituliskan dengan notasi sebagai berikut nS nT =R n T R S Sekarang perhatikan tabel kebenaran p q r + + + + + + + + + + + + n + + + + + + q→ r + + + + + + n + + + + + + Keterangan Lingkari tabel premis 1 dan tabel premis 2 yang keduanya sama dengan benar. Kemudian tandai tabel kesimpulan dengan % Kesimpulan yang sejajar dengan premis 1 dan 2 yang telah dilingkari. Perhatikan tanda yang ada di dalam % ternyata semua bernilai benar. Kesimpulan Argumen tersebut di atas valid, karena dengan premis yang benar semua kesimpulannya juga benar semua. Contoh 2 Jika merancang gerbang logika maka memakai sistem bilangan biner Memakai sistem bilangan biner ∴ Merancang gerbang logika Argumen di atas dapat dituliskan dengan notasi R S nS disebut premis 1 disebut premis 2 =R disebut kesimpulan Dengan cara yang sama kita dapat menentukan nilai kebenaran argumen di atas. p q + + + + R nS + + + Kesimpulan Argumen di atas tidak valid karena dengan premis-premis benar, kesimpulannya bisa benar, bisa salah. Bentuk-bentuk Dasar Menarik Kesimpulan 1. Conjunction R S =R S Logika Proposisi 21 2. Addition R =R S 3. Modus Ponens R R nS =S 4. Constructive Dilemma nS TnU RT =S U R 5. Hypothetical syllogism nS nT =R n T R S 6. Simplification RS =R 7. Disjunctive syllogism R ∨ S ` R ∴S 8. Modus Tollens R → S ` S ∴` R 9. Destructive Dilemma R → S ∧ T → U ` S∨ ` U ∴` R∨ ` T 10. Absorption nS =R n RS R Contoh pemanfaatan Buatlah kesimpulan dari argumen di bawah sehingga argumen tersebut valid 1. Jika hasilnya akurat maka sistemnya digital 2. Jika sistem digital maka rancangan jaringannya kombinasi 3. Jika sistem digital maka menggunakan dua nilai tanda bilangan biner 4. Hasil akurat =? Jawab 1SFNJT R 1SFNJT S 1SFNJT S 1SFNJT R nS nT nU =! Dengan Hypothetical Syllogism nS nT =R n T R S nS nU =R n U R S Sehingga argumentasi dapat ditulis ulang R R R nT nU =! Dengan Modus Ponen R nT R =T R nU R =U Sehingga argumentasi dapat ditulis ulang T U =! Dengan conjuntion kesimpulannya dapat ditulis T U sehingga argumentasi menjadi T U =T U adalah valid Bukti dengan tabel kebenaran p + + + + + + + + 4 q + + + + + + + + r + + + + s + + + + + + + + + + + + R→S S→T S →U T ∧U + + + + + + + + + + + + 1 + + + + + + + + + + + + 2 + + + + + + + + + + + + 3 + + + + = ∴ argumen di atas valid KUANTOR PERNYATAAN Misalkan Px adalah pernyataan yang menyangkut variabel x dan q adalah sebuah himpunan, maka P adalah fungsi proposisi jika untuk setiap Z ∈ & berlaku Px adalah sebuah proposisi. Contoh Misalkan Px adalah pernyataan dengan x adalah sebuah bilangan genap bulat. Misalkan D = himpunan bilangan bulat positip Maka fungsi proposisi Px dapat ditulis Jika x = 1 maka proposisinya 1 adalah bilangan bulat genap f Jika x = 2 maka proposisinya 2 adalah bilangan bulat genap t dan seterusnya. Jadi dapat kita lihat ada sejumlah kuantitas proposisis yang benar. Untuk menyatakan kuantitas suatu objek dalam proposisi tersebut digunakan notasi-notasi yang disebut kuantor. Macam-macam Kuantor Macam-macam kuantor yang sering digunakan dalam proposisi 1. Untuk setiap x, Px disebut kuantor universal simbol yang digunakan 2. Untuk beberapa paling sedikit satu Z 2 Z disebut kuantor existensial simbol yang digunakan Contoh Misalkan x himpunan warga negara Indonesia, P predikat membayar pajak, R predikat membeli printer, Maka 1. Z2 Z , artinya 2. Z4 Z 2 Z , artinya 3. Z4 Z n 2 Z , artinya Semua warga negara membayar pajak Ada beberapa warga negara pembeli printer membayar pajak Setiap warga negara jika membeli printer maka membayar pajak 4. Z4 Z 2 Z , artinya Ada warga negara membeli printer dan tidak membayar pajak Negasi Kuantor ` ∀Z = ∃Z ` ∃Z = ∀Z maka ` ∀Z2 Z = ∃Z 2 Z ` ∃Z2 Z = ∀Z 2 Z ` ∀Z2 Z → 3 Z = ∃Z 2 Z → 3 Z = ∃ xPx ∧ Qx ` ∃Z2 Z → 3 Z = ∀Z 2 Z → 3 Z = ∀Z2 Z ∧ 3 Z Soal - soal 1. Tuliskan tabel kebenaran dari proposisi di bawah a R R S b ` R ∧ S ∨ T ∧ ` S c R S n R S d ` R ∧ S ∨ ` R ↔ S e ` R∨S ↔ R ↔ S f R ∧ ` ` R ∨ S ∨ R ∧ S g ` ` R ∧ S ∨ ` R ∧ ` S ∨ R ∧ S 2. Sederhanakanlah proposisi di bawah a R S R S R S R S b R ∧ ` R ∨ ` S ∨ S ∧ S ∨ R c R ∨ S ∧ ` R ∨ ` R ∨ S ∨ ` R ∧ S d R ∨ ` S → R ∨ R ↔` S → S ∧ ` R e R ∧ S →` T ∨ ` R ∨ T ↔` S 3. Buktikanlah bahwa proposisi z a 2 ≡ R∨ ` R 3 ≡ R ∧ S → R ↔ S b 2 ≡ R → R ∨ S 3 ≡ R ∧ S → R ↔ S c 2 ≡ R ∧ S 3 ≡ R ↓ R ↓ S ↓ S d 2 ≡ R ∨ S 3 ≡ R ↓ S ↓ R ↓ S 4. Dengan kontrapositif buktikanlah kebenaran implikasi di bawah a Jika hasil kali 2 bilangan adalah ganjil, maka kedua bilangan tersebut adalah ganjil b Jika x bukan bilangan bulat kalipatan 3, maka x juga bukan bilangan bulat kelipatan 3 5. Selidiki validitas argumentasi di bawah a 1. Jika microsoft word maka windows sistem operasinya 2. Jika bukan product microsoft maka bukan windows sistem operasinya 3. Linux = bukan microsoft word b Buat kesimpulan yang valid dari argumentasi di bawah 1. Jika memakai sistem digital maka hasilnya akurat dan jika merancang gerbang logika harus menguasai Aljabar Boole 2. Sistim digital atau gerbang logika 3. Tidak akurat atau bukan Aljabar Boole 4. Tidak akurat = ? c 1. MsOffice mudah dipakai maka banyak pembeli dan mudah dicari 2. Karena mudah dicari dan banyak pembeli maka dibajak 3. Karena dibajak maka negara dirugikan 4. Negara tidak dirugikan = bukan microsoft Office nT R n S =R n T S d R n TS T n S =R n T e R 6. Tentukan nilai kebenaran pernyataan di bawah, bila domain pembicaraannya himpunan bilangan real Z[2 Z [ Z[2 Z [ Z[2 Z [ Z[2 Z [ b Z[2 Z [ n Z [ Z[2 Z [ n Z [ Z[2 Z [ n Z [ Z[2 Z [ n Z [ -oo0oo- 2 TEORI HIMPUNAN HIMPUNAN Salah satu kemampuan yang kita kuasai setelah kita mempelajari logika proposisi adalah kemampuan untuk membedakan. Membedakan apakah tautologi, kontradiksi atau bentuk proposisi yang lain, membedakan apakah proposisi bernilai benar atau salah, membedakan apakah kuantor universal atau existential. Untuk dapat menguasai teori himpunan, kemampuan untuk membedakan sangat diperlukan, karena himpunan merupakan kumpulan benda atau objek yang didefinisikan secara jelas. Himpunan dapat dipandang sebagai kumpulan benda-benda yang berbeda tetapi dalam satu segi dapat ditanggapi sebagai suatu kesatuan. Objek-objek ini disebut anggota atau elemen himpunan. Notasi Himpunan A, B, C, ... Anggota himpunan a, b, c, ... Contoh Kita definisikan himpunan software under windows, maka kita menulis A = {MsWord, MsExcel, Ms PowerPoint, ...} atau B = {xx software under windows} Cara menuliskan himpunan A disebut menulis secara tabulasi Cara menuliskan himpunan B disebut menulis secara deskripsi. Masing-masing objek dalam himpunan A disebut anggota atau elemen himpunan, dituliskan Z∈ ∉ artinya x anggota himpunan A artinya x bukan anggota himpunan A Kardinalitas Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A. Notasi nA atau Contoh. B = { x x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20 }, atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka $ = 8 T = {perkutut,kutilang,kenari,dara,beo}, maka 6 = 5 A = {a, {a}, {{a}} }, maka = 3 Himpunan Berhingga dan Tak Berhingga Himpunan berhingga adalah himpunan dimana jumlah anggota-nya berhingga artinya bila kita menghitung elemenelemen yang berbeda dari himpunan ini, maka proses berhitungnya dapat selesai. Bila tidak demikian maka himpunan tak berhingga. A = himpunan software anti virus A = {xx software anti virus} A = Norton, McAfee, Panda, KaperSky, Norman Contoh B = himpunan bilangan asli B = xx bilangan asli} B = {1, 2, 3,......} maka A berhingga Kesamaan Dua Himpunan dan Subhimpunan Dua himpunan A dan B dikatakan sama dengan jika dan hanya jika keduanya bersama-sama memiliki anggota yang sama. Contoh A = {WordPad, MsWord, WordPerfect, WS} B = {WordPerfect, WS, MsWord, WordPad} Maka A=B Dua himpunan A dan B dengan elemen-elemen yang berbeda dikatakan setara jika dan hanya jika jumlah anggota himpunan A sama dengan jumlah anggota himpunan B. Contoh A = {MsExcel, Lotus 123} B = {Mouse, Keyboard} Maka A~B Himpunan A dikatakan sub himpunan B jika dan hanya jika semua elemen-elemen A adalah anggota himpunan B. Contoh A = { Win95, Win97} B = { Win95, Win97, Win98, Win98SE, WinME, Win2000, WinXP} Maka AÌB Bila tidak demikian dikatakan bukan sub himpunan. Contoh A = {WinXP, Linux, Unix} B = { Win95, Win97, Win98, Win98SE, WinME, Win2000, WinXP} C = {monitor, printer, scanner} Maka ⊄ $DWMCPUWDJKORWPCP$ % ⊄$%DWMCPUWDJKORWPCP$ Macam-macam Himpunan Himpunan Kosong/Entry Set Himpunan dengan kardinal = 0 disebut dengan himpunan kosong. Notasi ∅ { } Contoh A = himpunan software aplikasi yang bisa dipakai dengan semua sistem operasi =∅ ={ } Singleton Set Singleton set adalah himpunan yang hanya memiliki 1 anggota Contoh A = himpunan devices yang berfungsi sebagai input devices sekaligus output devices A = {touch screen} Himpunan Semesta/Universal Set Dalam setiap membicarakan himpunan, maka semua himpunan yang ditinjau adalah subhimpunan dari sebuah himpunan tertentu yang disebut himpunan semesta. Dengan kata lain himpunan semesta adalah himpunan dari semua objek yang berbeda. Notasi U Contoh U = Semesta pembicaraan, yaitu sistem operasi produksi Microsoft U = {Win ..., WinXP, ...} Himpunan Kuasa Dari sebuah himpunan, kita dapat membuat subhimpunan subhimpunannya. Himpunan dari semua subhimpunan yang dapat dibuat dari sebuah himpunan disebut himpunan kuasa. Banyaknya himpunan bagian dari sebuah himpunan A adalah 2, x adalah banyak elemen A Notasi 2 Contoh A = {mouse, keyboard} B = {monitor, printer, scanner} Maka \ \OQWUG^ \MG[DQCTF^ ^ $ \$ \OQPKVQT^ \RTKPVGT^ \UECPPGT^ \OQPKVQTRTKPVGT^ \OQPKVQTUECPPGT^ \RTKPVGTUECPPGT ^ ^ OPERASI HIMPUNAN Union/Gabungan dari 2 himpunan Gabungan 2 himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota A atau B atau keduanya. Notasi ∪$ +$ Contoh A = {mouse, keyboard} B = {monitor, printer, scanner} C = {mouse, keyboard, CPU, monitor} Maka $ \OQWUGMG[DQCTFOQPKVQTRTKPVGTUECPPGT^ % % $ % \OQPKVQTRTKPVGTUECPPGTOQWUGMG[DQCTF%27^ Intersection/Irisan dari 2 Himpunan Irisan dari 2 himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya dimiliki bersama oleh himpunan A dan B. Notasi ∩ $ Contoh A = {mouse, keyboared, touch screen} B = {monitor, touch screen, printer, scanner} Maka ∩ $ = ]VCWEJUETGGP_ Relative Complement/Selisih Antara 2 Himpunan Selisih antara himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya hanya menjadi anggota himpunan A tetapi tidak termasuk anggota himpunan B. Notasi AB Contoh A = {SQL server, MySQL, MsAcces} B = {MySQL, MsAcces, Oracle} Maka $ \53.UGTXGT ^ Komplemen dari Himpunan Komplemen dari sebuah himpunan A adalah himpunan yang anggotanya bukan anggota A. Dengan kata lain komplemen A adalah himpunan yang anggotanya merupakan hasil dari U A. Notasi ′ E Contoh U = { Win95, Win97, Win98, Win98SE, WinME, Win2000, WinXP, ...} A = { Win95, Win97} "h = {Win98, Win98SE, WinME, Win2000, WinXP, ...} Symmetic Difference/Beda Setangkup Beda setangkup 2 himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A atau anggota himpunan B tetapi bukan merupakan anggota kedua himpunan secara bersamaan. Notasi ⊕ Contoh A = { Win95, Win97} B = {Win95, Win97, Win98, Win98SE, WinME, Win2000} Maka ⊕ = { Win98, Win98SE, WinME, Win2000} DIAGRAM VENN Diagram venn adalah suatu cara untuk menggambarkan hubungan antara himpunan-himpunan. Dalam diagram venn himpunan biasanya dinyatakan dengan suatu daerah bidang yang dibatasi oleh sebuah lingkaran. Contoh U U A A U A B U A " " U A B B U A " B " HUKUM-HUKUM A LJABAR HIMPUNAN Hukum-hukum aljabar yang berlaku pada proposisi, berlaku juga bagi himpunan, yaitu 1. Hukum Idempoten ∪ = ∩ = 2. Hukum Asosiatif ∪ $ ∪% = ∪ $ ∪ % ∩ $ ∩% = ∩ $ ∩ % 3. Hukum komutatif ∪$ = $∪ ∩$ = $∩ 4. Hukum Distribusi ∪ $ ∩ % = ∪ $ ∩ ∪ % ∩ $ ∪ % = ∩ $ ∪ ∩ % 5. Hukum Identitas ∪ ∅ = ∩ 7 = ∪ 7 = 7 ∩ ∅ = ∅ 6. Hukum Involution % % = 7. Hukum Komplemen ∪ % = 77% = ∅ ∩ % = ∅∅% = 7 8. Hukum DeMorgan % ∪ $ = % ∩ $% % ∩ $ = % ∪ $% 9. Hukum penyerapan absorpsi ∪ ∩ $ = ∩ ∪ $ = Contoh Sederhanakan ∪ ∩ $ Jawab ∪ ∩ $ = ∩ 7 ∪ ∩ $ = ∩ 7 ∪ $ = ∩7 = PERHITUNGAN HIMPUNAN GABUNGAN Satu hal yang penting dalam matematika diskrit adalah proses menghitung, seperti bagaimana kita menghitung jumlah anggota dari sebuah himpunan. Berikut adalah proses penghitungan jumlah anggota dari himpunan gabungan. Gabungan dari 2 Himpunan Jumlah angota dari 2 himpunan yang digabungkan dapat dicari sebagai berikut $ $ A $ B 0 0 $ 0 $ 0$ 0$ 0 $ 0 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 1 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 2 Substitusi 2 ke 1 0 0$ 0 $ 0 $ Sehingga 0 $ 0 0$ 0 $ 3 Gabungan dari 3 Himpunan Jumlah anggota dari 3 himpunan yang digabungkan dapat dicari sebagai berikut ∪ $ ∪ % = ∪ $ ∪ % asosiatif Substitusikan rumus 3, maka 0 $ % 0 0$% 0 $% Substitusikan rumus 3, ke 0 $ % 0 $ % 0 0$ 0% 0 $ % 0 $ % 4 Hukum distribusi $ % $ % Hukum distribusi dan rumus 3 dapat dipakai pada suku 0 $% , karena 0 $ % 0 $ % 0 $ 0 % 0 $ % 0 $ 0 % 0 $ % Substitusikan ke persamaan 4 diperoleh 0 $ % 0 0 $ 0 % 0 $ % 0 $ 0 % 0 $ % 5 SOAL-SOAL 1. Tuliskan dalam bentuk deskripsi A = {Adobe Photoshop, Macromedia Fireworks, PrintShopPro,GIMP, ...} B = {SQL Server, MySQL, Ms Access, Oracle, SAP DB, PostGre SQL, ...} C = {PHP, ASP, Cold Fusion, ...} D = {Windows, Linux, Unix, MacOS, OS/2, ...} E = {disket, CD-R, Hardisk, ...} F = {mouse, keyboard, touch screen, ...} 2. Misalkan semesta pembicaraan adalah sistem operasi produksi Microsoft dan himpunan-himpunan lainnya dinyatakan oleh A = { Win95, Win97} B = {Win97, Win98, Win98SE, WinME} C = {WinME, Win2000, WinXP, ...} Carilah a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. ∪ − ∩ ∪ ⊕ − − ⊕ ∩ ∪ ∩ − ∩ $ 0∪$ 0∩$ 3. Dari 1200 mahasiswa TI diketahui 582 627 543 227 307 250 222 menguasai Linux menguasai Windows menguasai Unix menguasai Linux dan Windows menguasai Linux dan Unix menguasai Windows dan Unix orang menguasai ketiganya. Berapa orang yang tidak menguasai ketiga jenis sistem operasi di atas? Berapa orang yang hanya menguasai Linux tetapi tidak menguasai Windows dan Unix? 4. Dari 37 orang programmer yang mengikuti wawancara untuk sebuah pekerjaan diketahui 25 menguasai Pascal 28 menguasai C++ 2 tidak menguasai keduannya Berapa orang yang menguasai keduannya? 5. Hasil survey mengenai input data dari kelas Akuntansi Komputasi diketahui 32 orang suka memakai mouse 20 orang suka memakai touch screen 45 orang suka memakai keyboard 15 orang suka mouse dan keyboard 7 orang suka mouse dan touch screen 10 orang suka keyboard dan touch screen 5 orang suka memakai ketiganya Berapa jumlah mahasiswa yang disurvei? Berapa jumlah mahasiswa yang hanya suka memakai satu jenis input devices? Berapa jumlah mahasiswa yang suka memakai keyboard dan mouse tetapi tidak suka memakai touch screen? 6. Dalam suatu kelas x semua ikut belajar pengunaan software Maple dan Matlab. Kalau dihitung yang belajar Maple ada 20 mahasiswa, 25% di antaranya juga belajar Matlab. Apabila diketahui perbandingan jumlah mahasiswa yang belajar Maple dan Matlab adalah 5 4, maka berapa jumlah mahasiswa di kelas x tersebut? Berapa jumlah mahasiswa yang hanya belajar Maple? 7. Dalam kelas x perbandingan jumlah mahasiswa yang ikut belajar penggunaan software Java, C, dan Pascal adalah 543. Kalau dihitung yang belajar ° Java ada 50 mahasiswa; 10% di antaranya juga belajar C dan Pascal sekaligus; 20% di antaranya belajar C dan 20% lagi belajar Pascal. ° Pascal dan C tetapi tidak belajar Java 10 orang. Berapa jumlah mahasiswa kelas x? Berapa jumlah mahasiswa yang hanya belajar Pascal tetapi tidak belajar Java maupun C? Gambarkan dengan diagram venn! 8. Misalkan A himpunan mahasiswa tahun pertama, B himpunan mahasiswa tahun ke dua, C himpunan mahasiswa jurusan Matematika, D himpunan mahasiswa jurusan Teknik Informatika, E himpunan mahasiswa yang mengambil kuliah Matematika Diskrit, F himpunan mahasiswa yang nonton pertandingan tinju pada hari Senin malam, G himpunan mahasiswa yang belajar sampai lewat tengah malam pada hari Senin malam. Nyatakan pernyataan bereikut dalam notasi teori Himpunan a. Semua mahasiswa tahun ke dua jurusan Teknik Informatika mengambil kuliah matematika Diskrit. b. Hanya mereka yang mengambil kuliah Matematika Diskrit atau yang nonton pertandingan tinju atau yang belajar sampai lewat tengah malam pada hari Senin malam. c. Mahasiswa yang mengambil kuliah Matematika Diskrit tidak ada yang nonton pertandingan tinju pada hari senin malam. d. Semua mahasiswa tahun ke dua yang bukan dari jurusan Matematika ataupun jurusan Teknik Informatika pergi nonton pertandingan tinju. 9. Diantara 100 mahasiswa, 32 orang mempelajari Matematika, 20 orang mempelajari Fisika, 45 orang mempelajari Biologi, 15 orang mempelajari Matematika dan Biologi, 7 orang mempelajari Matematika dan Fisika, 10. Orang mempelajari Fisika dan Biologi, 30 orang tidak mempelajari satupun diantara ketiga bidang tersebut. a. Hitung banyaknya mahasiswa yang mempelejari ke 3 bidang tersebut b. Hitung banyaknya mahasiswa yang hanya mempelajari satu dari ke tiga bidang tersebut. 10. Survey 25 mobil baru yang dijual memiliki A AC, R Radio, W Power Window dengan penyebaran sebagai berikut 15 A, 12 R, 11 W, 5 A & W, 9 A & R, 4 R & W, 3 A&R&W. Jumlah mobil yang a. Hanya ber Power Window b. Hanya ber AC c. d. e. f. Hanya ber Radio Hanya ber R dan W tetapi tidak ber A. Hanya ber A dan R tetapi tidak ber W. Tidak memakai ketiga-tiganya. -oo0oo- 3 TEORI HIMPUNAN FUZZY Teori himpunan fuzzy merupakan pengembangan teori himpunan crisp set. Dalam perjalanannya perkembangan teori himpunan fuzzy dapat dibagi menjadi 3 phase, yaitu ° Phase akademik, periode 1965-1977 ° Phase tranformasi, periode 1978-1988 ° Phase fuzzy boom, periode setelah, 1989 Teori himpunan fuzzy diperkenalkan oleh Prof Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965 dan sekarang telah banyak digunakan di bidang industri dan niaga. FUNGSI KEANGGOTAAN Berbeda dengan teori himpunan di mana nilai keanggotaan hanya bernilai 1 atau 0, fungsi keanggotaan himpunan fuzzy ada didalam interval 0 sampai 1. Contoh A = Himpunan sistem operasi yang banyak digunakan masyarakat pengguna. ! Dalam teori himpunan crisp set himpunan A ditulis A = {Linux, Unix, Windows, MacOs, OS2} Artinya, Linux, Unix, Windows, MacOs, Os2 adalah anggota himpunan dengan nilai keanggotaan 1, selain kelima elemen diatas bukan anggota himpunan maka nilai keanggotaannya 0. Dari kelima anggota himpunan A tersebut kita tidak dapat memperoleh informasi mana yang sangat banyak, banyak, cukup, kurang atau sedikit diminati oleh masyarakat pengguna, karena derajat keanggotaan kelima anggota himpunan tersebut sama. Dalam teori himpunan fuzzy himpunan A dapat ditulis A = {, ,, , } atau A = 0,7/Linux + 0,5/Unix + 0,9/Windows + 0,2/MacOs + 0,4/OS2 Artinya, windows paling banyak diminati oleh masyarakat pengguna karena memiliki nilai keanggotaan 0,9 disusul Linux 0,7 dan seterusnya sampai sistem operasi yang paling sedikit peminatnya yaitu MacOs dengan keanggotaan 0,2. Notasi keanggotaan himpunan fuzzy Z n Karena derajat keanggota himpunan fuzzy ada dalam interval 0 sampai 1, maka ada kalanya keanggotaan himpunan fuzzy dinyatakan dalam bentuk fungsi. Contoh ⎫ ⎧Z WPVWM≤Z≤ ⎪ ⎪ Z = ⎨ ZWPVWM≤Z≤ ⎬ ⎪WPVWMZ⎪ ⎭ ⎩ Gambar dari fungsi keanggotaan Ax tersebut adalah Ax 1 Ax Ax 6 0 7 8 x Gambar Fungsi keanggotaan A x dan x OPERASI HIMPUNAN FUZZY Komplemen Komplemen himpunan fuzzy A adalah dengan fungsi keanggotaan Z = − Z Lihat gambar Contoh Z = Z − WPVWM≤Z≤ Z = − Z = − Z − = − Z + WPVWM≤Z≤ ! Dengan cara yang sama kita dapat mencari fungsi keanggotaan Z untuk Ax = 8-x. Gabungan/Union Himpunan Fuzzy Gabungan himpunan fuzzy A dan B adalah himpunan fuzzy ∪ dengan fungsi keanggotaan ∪ = ⎣⎡ ⎦⎤ untuk semua Z . Contoh Misalkan Ax fungsi keangotaan himpunan fuzzy terbatas finite Ax = 0/5,75 + 0/6 + 0,25/6,25 + 0,5/6,5 + 0,75/6,75 + 1/7 + 0,75/7,25 + 0,5/7,5 + 0,25/7,75 + 0/8 + 0/8,25 dan komplemennya adalah Z = 1/5,75 + 1/6 + 0,75/6,25 + 0,5/6,5 + 0,25/6,75 + 0,7 + 0,25/7,75 + 0,5/7,5 + 0,75/7,75 + 1/8,25 Maka ∪ Z = + + + + + + + + + + Gambar ∪ Z adalah ∪ Z 1 0 6 8 x Gambar fungsi keanggotaan ∪ Z Irisan/Intersection Himpunan Fuzzy Irisan dari himpunan fuzzy A dan B adalah himpunan fuzzy dengan fungsi keanggotaan ∩ $ ∩ $ Z = OKP= Z $ Z ? untuk semua Z ∈ Contoh Misalkan Ax fungsi keangotaan himpunan fuzzy terbatas finite Ax = 5/5,75+0/6+0,25/6,25+0,5/6,5+0,75/6,75+1/7+0,75/ 7,25+0,5/7,5+0,25/7,75+0,8+0,8,25 dan kpmplemennya adalah Z = 1/ 7,75+0,5/7,5+0,75/7,75+1/8+1/8,25 Teori Himpunan Fuzy 53 Maka ∩ Z = 0/5,75+0/6+0,25/6,25+0,5/6,5+0,25/6,75+ 0,7+0,25/7,25+0,5/7,25+0,25/7,75+0,8+0/8,25 Gambar ∩ Z adalah ∩ Z 1 1 /2 0 x Gambar fungsi keanggotaan ∩ Z Pemotongan/Cut Himpunan Fuzzy Pemotongan pada sebuah himpunan fuzzy dapat dilakukan dimana saja pada selang nilai derajat keanggotaan himpunan fuzzy tersebut. Hasil pemotongan sebuah himpunan fuzzy adalah himpunan fuzzy yang memiliki derajat keanggotaan lebih besar atau sama dengan nilai potongnya Notasi ∞ = ]Z ∈ ^ Z ≥ ∞ _ Contoh Himpunan fuzzy terbatas dimana sumbu Y atau A X dengan selang nilai 0 sampai 1 mewakili derajat keanggotaan processor 28610,38620, 48630, Pentium 150, Pentium 260, Pentium 370, Pentium 480 dan core2duo100, serta sumbu X mewakili semesta pembicaraan yaitu harga terhadap produk yang berhubungan sebagai berikut A x = 0/10 + 0,1/20 + 0,2/30 + 0,3/50 + 0,5/60 + 0,7/70 + 0,8/80 + 1/100 10 l 9 8 l 7 l 6 5 l 4 l 3 2 l 1 0 l l 10 Teori Himpunan Fuzy 20 30 40 50 60 70 80 90 100 55 Maka = Z = + + + + + + = + + + + + = + + + + = + + + = + + = + = Perhatikan bahwa = = + Maka ∪ = demikian juga ∪ = dan seterusnya sehinga dapat disimpulkan ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ = Z dinotasikan = ∪ µ ∈ [] Bagaimana dengan irisan? Kita perhatikan = Z = + + + + + + = + + + + +
diantara 100 mahasiswa, 54 mempelajari matrmatika,69 mempelajari sejarah ,dan 35 mempelajari keduanya. bila seorang mahasiswa di ambil secara acak, hitung peluang bahwa A. ia mempelajari matematika atau sejarah B. ia tidak mempelajari keduanya C. ia mempelajari matematika Yg mempelajari matematika saja = 54 - 35 = 19yg mempelajari sejarah saja = 69 - 35 = 34yg tidak mempelajari keduanya = 100 - 19 - 34 - 35 = 12A mempelajari matematika atau sejarah 19/100 + 34/100 = = 53/100B tidak keduanya = 12/100 = 6/50C matematika = 19/100
diantara 100 mahasiswa 32 orang mempelajari matematika
